SÓ PARA AJUDAR O PESSOAL DO PRÉ-VESTIBULAR

A GEOMETRIA DO SÉC. III a.C.

Os antigos já haviam percebido que:

(i) A sombra da Terra projetada na Lua, durante os eclipses lunares, exibe uma forma arredondada.

(ii) Quando o navio se afasta, primeiro desaparece o seu casco e depois desaparece o seu mastro; quando o navio se aproxima, primeiro aparece o seu mastro e depois aparece o seu casco.

(iii) As mesmas estrelas não são visíveis de todos os locais; as suas respectivas alturas acima do horizonte variam de local para local.

Daí, Erastótenes (276 a.C. - 194 a.C.) , enquanto dirigia a biblioteca do museu de Alexandria, obteve, nos livros, a informação de que, em determinado dia do ano, no solstício de verão no hemisfério norte ( SOLSTÍCIO), ao meio-dia, o Sol se refletia nas águas de um poço muito fundo situado na sua cidade natal, Syene, que ficava exatamente no limite da zona tropical e no mesmo meridiano de Alexandria.

Para que a luz do Sol pudesse se refletir nas águas de um poço muito fundo, este deveria estar bem alinhado com o Sol, isto é, o Sol, o poço e o raio da Terra deveriam estar todos sobre uma mesma reta imaginária, ou em outras palavras, o Sol deveria estar no zênite, exatamente sobre a cabeça do observador.

Erastótenes observou que nesse mesmo dia, em Alexandria, a sombra de uma coluna, ao meio-dia, revelava que o Sol distava do zênite 7½º (medida feita com o auxílio do astrolábio).

Sabendo que os raios de luz provindos de grandes distâncias parecem paralelos ou comportam-se como se fossem, Erastótenes concluiu que os raios que ligam as extremidades de um arco de 800 Km ao centro da Terra, formam um ângulo de 7½º (800 Km é a distância entre as duas cidades, que já era conhecida pelos funcionários do museu). Este ângulo equivale a aproximadamente 1/50 do comprimento do meridiano terrestre — que é de 3.600 (2p).

A partir do teorema das retas paralelas ( TEOREMA), Erastótenes transpôs o ângulo de 7½º.

A partir daí, fica simples encontrar o raio da Terra:

Cálculo da Circunferência da Terra:

Por uma regra de três simples, calculamos facilmente o comprimento da circunferência da Terra!

    1/50 x 2p (7 1/20) → 800 Km (distância entre Syene e Alexandria)

    2p (3.600) → X (circunferência da Terra)

    X = 40.000 Km

Cálculo do Raio da Terra

Agora fica fácil calcular o raio da Terra, pois sabemos que o comprimento de uma circunferência é 2πr e já sabemos que o comprimento da circunferência da Terra é de 40.000 Km. Fazemos então:

        C = 2πr

        40.000 = 2πr

        r = 40.000 / 2π

        isolamos π

        r = 40.000 x 7 / 2 x 22

Obs: p já havia sido determinado por Arquimedes como sendo 22/7

        r = 5.400 Km

O resultado da experiência de Erastótenes foi surpreendentemente próximo da medida observada hoje.

Fonte: Marina Menna Barreto, em: <http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab1/erast.htm>

Eratóstenes nasceu em Cirene (atual Líbano), em 276 a.C. e faleceu em Alexandria em 194 a.C. Como muitos sábios do seu tempo, foi astrônomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta e matemático. Estes conhecimentos levaram-no a ocupar um dos cargos mais importantes na Antiguidade: diretor da maior e mais importante biblioteca da época - a Biblioteca de Alexandria, uma das sete maravilhas do mundo. Apesar de ser um estudioso de nível superior nas áreas em que interveio nunca chegou a atingir o patamar máximo do seu contemporâneo Arquimedes. No entanto, os seus feitos e descobertas, tornaram-no uma das figuras mais importantes da ciência. (http://nautilus.fis.uc.pt/)

Teorema das retas paralelas

Se duas retas paralelas (r e s) são "cortadas" por uma transversal (t), então seus ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) são congruentes (iguais).

Os ângulos 3 e 5 e 4 e 6 são chamados de alternos internos.

Os ângulos 1 e 7 e 2 e 8 são chamados de alternos externos.

Os ângulos 1 e 5 e 2 e 6 e 3 e 7 e 4 e 8 são chamados de correspondentes.

O vídeo acima é falado em inglês.

Construção de um

relógio de sol horizontal
 

Para traçar no plano α′ as marcações de um relógio horizontal com gnomon* GC projetam-se sobre α′ as marcações igualmente intervaladas de um relógio equatorial auxiliar cujo gnomon tem a direção GC:

Sejam GF e CF os segmentos de reta que contêm, respectivamente, as marcações do meio-dia no relógio equatorial auxiliar e no relógio horizontal.

Seja r a reta que resulta da intersecção do plano α′ com o plano que contém o mostrador do relógio equatorial auxiliar.

As marcações no relógio horizontal são determinadas pela intersecção com a reta r dos segmentos de reta (a tracejado na figura) que contêm as marcações horárias do relógio equatorial auxiliar.

O relógio deve ser implantado de forma a que o extremo livre do gnomon aponte para norte.

A obtenção dos valores dos ângulos entre as marcações horárias de um relógio horizontal e o conseqüente traçado do seu mostrador pode ser feito utilizando conceitos de trigonometria plana:

Considerem-se os triângulos retângulos FGC, FHG e FHC.

Esquema 2

Como  GCF = L e  FGH = 15°, tem-se que sin L = FG / FC, tan 15° = FH/FG e tan  FCH = FH / FC = (FG tan 15º) / FC, isto é

tan  FCH = (sin L)( tan 15°).

Analogamente, sendo  FGJ = 30°,  FGK = 45°, tem-se que

tan  FCJ = (sin L)( tan 30°)
tan  FCK = (sin L)( tan 45°)

e assim sucessivamente. Os segmentos de reta GM e CB (que contêm, respectivamente, a marcação das 6 horas no relógio equatorial e no relógio horizontal) são paralelos a r.

Com uma planificação conveniente do esquema 1 pode arranjar-se um processo puramente geométrico para obter as marcações de um relógio horizontal.

Rodemos de 90° + L o plano α em torno da reta r (interseção de α e α′) no sentido direto.

Desta forma ele irá sobrepor-se com o plano α′ e transportamos o ponto G e as linhas horárias do relógio equatorial auxiliar para o plano onde pretende-se efetuar as marcações do relógio horizontal, como se ilustra no esquema 2.

Rebatendo o triângulo retângulo FGC, cujo cateto GC é gnomon do relógio horizontal, sobre o plano α′, obtemos o triângulo retângulo FEC, em que EC é o rebatimento do gnomon.

Deste conjunto de operações resulta imediatamente que o ponto G se pode obter através da rotação de 90° + L do segmento EF em torno de F, no sentido indicado no esquema 2.

Este processo conduz a uma planificação do esquema 1, pelo que para obter as linhas horárias (a encarnado) do relógio horizontal basta unir o ponto C com os pontos de intersecção das linhas horárias (a cinzento) do relógio equatorial com a reta r, como se ilustra no esquema 2.

Observe-se que o esquema 2 pode ser munido de um conjunto de instruções que permite obter diretamente as marcações de um relógio horizontal como se ilustra no esquema de construção.

Materiais necessários: 1 quadrado de cartão com 20 cm de lado; 1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado; régua; transferidor; marcador; cola.

Procedimentos

• Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.
• No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
• A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, α, do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que distancie 4 cm de C.
• A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
• Trace uma reta s paralela ao segmento AB e que passe por F.
  Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
• Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15° em 15° a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
• A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
• Com o pedaço de cartolina construa o gnomon com base no esquema representado: 

CN: gnomon
CF: base do gnomon
b: medida do gnomon
α: latitude do lugar

• Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
• Com o x-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
• Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador, de modo a que as letras C e F fiquem coincidentes, e cole as pastilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
• Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.

Os Relógios de Sol

e a Trigonometria

Fonte:
Ana Paula Silva & Pedro Miguel de Oliveira,
e Adolfo Stotz Neto em http://www.gea.org.br/relogio.html

Relógio de Sol Horizontal

Ao longo dos tempos as sombras despertaram no Homem sentimentos diversos. O Sol, um dos principais responsáveis no aparecimento dessas sombras, revelava ser um mistério com comportamentos cíclicos, o que provocou as primeiras observações e os primeiros estudos. Com o passar dos milênios foram aparecendo vários instrumentos de medição do tempo, entre os quais os Relógios de Sol.

Desafiaamos você a uma viagem no tempo, na procura da magia acumulada de séculos de história. Os Relógios de Sol e a Trigonometria serão a simbiose de uma natureza matemática intemporal que poderá dar a conhecer aos alunos algumas das belezas do nosso Universo...

Determinação do Norte Verdadeiro

A indicação da direção Norte-Sul é imprescindível para a orientação dos Relógios de Sol. Na Antiguidade foram desenvolvidos processos que permitiram a determinação do chamado Norte Verdadeiro. O procedimento que se segue permite a obtenção desse ponto:

1. Escolha um local iluminado durante um período de cerca de quatro horas para a obtenção do alinhamento do Norte geográfico verdadeiro.

2. Próximo das 10 horas, coloque uma estaca (gnomon) na vertical e trace uma circunferência de centro na base da estaca e raio igual à sombra da mesma e marque o ponto em que a extremidade da sombra toca a circunferência, unindo o ponto à base do gnomon.

3. Perto das 14 horas verifique o momento em que a extremidade da sombra toca novamente a circunferência. Marque esse ponto e una-o à base do gnomon.

4. A bissetriz do ângulo formado aponta para o Norte verdadeiro.

VER FIGURA 1

Determinação da Latitude Local

O segundo passo é obter a latitude do lugar aonde será montado o relógio. Desde mapas cartográficos até equipamentos GPS podem ser utilizados para tal.

Construção de um

relógio de Sol Vertical

Materiais necessários

- um quadrado de cartão com 20 cm de lado;
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.

Procedimentos:

3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude,q , do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon: VER FIGURA 3.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
Para ler as horas neste relógio temos de ter em consideração os seguintes três fatores:

a) Somar (ou subtrair) 4 minutos por cada por cada grau de longitude a Oeste (ou Este) do meridiano de referência — Meridiano de Greenwich.
b) Adicionar uma hora quando estamos com a hora de Verão.
c) Aplicar a correção horária para o dia do ano, através do gráfico da Equação do Tempo.

1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de reta AB. VER FIGURA 2.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. O ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída terá a letra D.

Construção de um

relógio de Sol Horizontal

Entre os tipos de relógio de sol, o horizontal é o menos complicado. O mostrador fica na horizontal pelo que o gnomon (estaca) faz um ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.

Materiais necessários:

- um quadrado de cartão com 20 cm de lado;
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.

Um relógio horizontal é composto de uma mesa horizontal; mostradores das horas, sobre a Mesa; um gnomon (estaca) inclinado. O mostrador está na horizontal e o gnomon faz um ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.

Procedimentos:

1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de reta AB. VER FIGURA 4.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, q, do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon com base na FIGURA 5.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.

Como ver as Horas

num Relógio de Sol?

A diferença que existe entre as horas indicadas por um relógio de sol e um relógio normal deve-se a três razões:
- Hora de Inverno e de Verão
Para aproveitarmos a luz do dia da melhor maneira possível em cada estação atrasamos ou adiantamos os nossos relógios em determinadas alturas do ano. Dado este facto e se estivermos na hora de Verão, necessitaremos de adicionar uma hora às horas indicadas pelo relógio de sol.
- Longitude
A hora dada pelo relógio de sol necessita ser corrigida de acordo com a longitude do lugar. Por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos (a longitude de Lisboa é de 9º 10’ Oeste).
- Equação do Tempo
Visto que a órbita da terra em torno do sol é uma elipse e como o eixo da Terra não é perpendicular ao plano da órbita o dia solar tem variações que atingem 31 minutos. Por questões de conveniência sobre o uso de relógios, faz-se a média destas variações para obter a hora média de Greenwich. Assim, para corrigir a hora dada pelo relógio de sol, chamada de tempo solar aparente, e obter a hora média de Greenwich (hora standard para todo o país), aplica-se uma correção apropriada chamada Equação do Tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra quanto o relógio de sol está adiantado ou atrasado. VER FIGURA 6.

CÁLCULO DOS ÂNGULOS

DAS HORAS ( X )

Os ângulos para as marcas de cada hora do Relógio de Sol Horizontal, são calculados de acordo com a fórmula e tabela abaixo, devendo ser traçados na mesa antes da fixação do gnomom.
Aonde: X é o ângulo procurado entre a marca da hora e a linha das 12 horas, contado a partir do centro C do marcador. L é a latitude do lugar em graus e h, conforme tabela abaixo:

hora   hora oposta             h

07:00       17:00              3,73205

08:00       16:00              1,73205

09:00       15:00              1,00000

10:00       14:00              0,57735

11:00       13:00              0,26794

Verifique também as figuras 7 e 8.

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