SÓ PARA AJUDAR O PESSOAL DO PRÉ-VESTIBULAR

PITÁGORAS E LIBERTAÇÃO DA ALMA

Na Grécia, em meados do século VI a.C., para garantir sua liderança perante o povo e enfraquecer a antiga aristocracia, políticos tiranos incentivaram a expansão de cultos religiosos populares ou estrangeiros.

Como resultado disso, destacando-se entre outras seitas, o orfismo, de Orfeu com características essencialmente esotéricas, pregando a necessidade do retorno à origem, ou seja, às estrelas, por meio de um processo de purificação que ocorria com a transmigração da alma através de vários corpos.

Para livrar-se do ciclo de reencarnações, era necessário que o homem obedecesse ao deus libertador, Dionísio, com algumas regras práticas, tais como a abstinência de certos alimentos.

Foi assim que Pitágoras de Samos transformou a Matemática em uma “via de salvação”, no lugar de Dionísio, convertendo o processo de libertação da alma em um esforço intelectual, isto é, em um empenho puramente humano.

Isso foi muito bom porque Pitágoras e seus seguidores, os pitagóricos, nos deixaram muitos conceitos como os dos números pares e ímpares, números figurados, números primos , a relação entre os catetos, a hipotenusa de um triangulo retângulo e outros.

Hoje é muito conhecido o Teorema de Pitágoras. A numerologia também é uma herança da doutrina dos pitagóricos.

NÚMEROS FIGURADOS

Por acreditarem que tudo no universo poderia ser explicado por meio dos números, os pitagóricos adotaram representações para os números:

                                                                    O

                 O       O   O    O      O          O       O

A FONTE    2           4          O  6   O        O        8        O    Números

                    O     O   O    O      O          O       O        fêmeas

                                                              O                

                    O           O     O          O O O      O O O

UNIDADE   O   O            O                  O         O O O  Números

                   3            O     O          O O O      O O O  Machos

                                      5                 7              9

Estabelecia-se, assim, diferentes níveis da realidade a tábua de opostos fundamentais, tais como:

- unidade e multiplicidade,

- macho e fêmea,

- à esquerda e à direita (relativas ao movimento das "estrelas fixas" e outros.

Por exemplo: o número cinco representava o casamento. Um número primo ímpar que, por a sua formação, representaria a união fecunda.

2 + 3

OOO

O

OOO

casamento

Pitágoras também estudou as propriedades geométricas dos números e descobriu, por exemplo, que dispostos geometricamente, os números ímpares formam sempre o quadrado, enquanto os números pares constituem sempre o retângulo.

O  O  O   O   O             O  O  O  O

O  O  O   O   O             O  O  O  O

O  O  O   O   O             O  O  O  O

O  O   O   O   O            O  O  O  O

Números pares      Números ímpares

Haviam também os números triangulares, pentagonais, hexagonais etc.

NÚMEROS TRIANGULARES

                                                                                               O

                                                                              O O

                                            O                             O O O 

            O                        O        O                      O O O O          

O     O      O                   O       O       O                     O O O O O

1          3                              6                               15

MÔNADAS

Pitágoras entendia que a matéria seria formada por corpúsculos de menor tamanho que qualquer coisa. O intervalo entre esses minúsculos corpos eram denominados MÔNADAS.

Se as mônadas pudessem ser vistas, um segmento de reta seria formado por uma série de unidades justapostas, ou seja, por uma quantidade finita de elementos indivisíveis.

Trata-se de uma hipótese que garantia a possibilidade de comparar as medidas de quaisquer dois segmentos a partir dos números inteiros naturais e suas razões. 

entre duas "mônadas", poderia ser intercalada uma terceira "mônada".

Dessa forma, sempre será possível colocar uma "mônada" entre outras duas, então surge a dúvida: quantas "mônadas" corresponde a um segmento?

NÚMEROS PRIMOS

Números naturais, segundo características comuns.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...

Seqüência dos números naturais

O O O O O O

Os números podem ser divididos em dois grupos com igual quantidade de objetos. Especificamente, os números pares, ou seja, os números divisíveis por dois, assim:

- os números naturais (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...): são chamados de números pares;

- os demais números naturais (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) são chamados números ímpares. 

Note-se, que um conceito que é pertinente à uma relação entre números pares e números ímpares é o conceito de divisibilidade, isto é, o fato de que a divisão de dois números naturais nem sempre produz um número natural.

Por exemplo, enquanto 15 dividido por 3 é igual a 5 - que é  um número natural - 15 dividido por 2 é igual a 7,5 que, por sua vez, não é um número natural.

Na teoria de números, dizemos que 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. 

Ora, mas como todo número natural é divisível por ele próprio e por 1, isso nos permite estabelecer para os números naturais, dois novos grupos de números distintos:

- o grupo dos números compostos

- o grupo dos números primos.

Em termos aproximados, a diferença entre número composto e número primo é a seguinte: 

NÚMERO PRIMO é, então, um número natural maior do que 1 divisível somente por 1 e por si mesmo.

Em ordem crescente, os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Os primeiros números compostos são: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ...

Os números primos são importantes para o teorema fundamental da aritimética, para o qual todo número inteiro natural maior do que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos.

Entre 1 e 100 existem 25 números primos, os quais podem ser encontrados através do crivo de Erastóstenes.

CRIVO DE ERATÓSTENES

Trata-se do método para a determinação de números primos. 

Determina, por exemplo, os números primos menores que 100, da seguinte forma:

a) o primeiro passo é listar, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 100.

b) em seguida, retiramos todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), os quais não são primos, porque são números pares.

c) os próximos números a serem retirados são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); os quais também não são primos, pois são divisíveis por 3.

d) depois, retira-se os múltiplos de 5 maiores que 5 e

e) finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.

Sobram, então, os números primos menores do que 100 (em vermelho na figura a baixo).

1       2       3       4       5       6       7       8       9       10

11     12     13     14     15     16     17     18     19     20

21     22     23     24     25     26     27     28     29     30

31     32     33     34     35     36     37     38     39     40

41     42     43     44     45     46     47     48     49     50

51     52     53     54     55     56     57     58     59     60

61     62     63     64     65     66     67     68     69     70

71     72     73     74     75     76     77     78     79     80

81     82     83     84     85     86     87     88     89     90

91     92     93     94     95     96     97     98     99     100

Note que não é necessário retirar os múltiplos de 11, pois o primeiro múltiplo de 11 a ser retirado seria o número 11.11 = 121, que é maior que 100.

Em linhas gerais, quando utilizamos o crivo de Eratóstenes para encontrar todos os números primos menores que um número natural n, retiramos somente os números múltiplos dos primos menores que a raiz quadrada de n.

IRREGULARIDADE DOS NÚMEROS PRIMOS

Ao considerar o intervalo entre dois números primos consecutivos, observa-se que há irregularidade entre eles.

Para mostrar a razão disso, vamos considerar P como o produto de todos os números naturais de 1 até 100.

Isto significa que todos os 99 número naturais subseqüentes P + 2, P + 3, P + 4, ..., P + 100 são compostos porque são divisíveis por 2, 3, 4 ...., 100.

Portanto, ao considerar o produto de todos os números naturais de 1 até 200, de 1 até 300 e, assim sucessivamente, percebe-se que as seqüências de números compostos consecutivos são arbitrariamente longas e, por conseguinte, arbitrariamente longos os intervalos entre dois números primos sucessivos.

Observa-se, por fim, que apesar de uma tendência para uma redução da quantidade de números primos, quando contados em grandes blocos de números naturais consecutivos, a seqüência de números primos é infinita.

1) Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O segundo é um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870.
A soma e o produto desses quatro números primos são, repectivamente:

a) 35 e 1870
b) 43 e 3230
c) 32 e 2145
d) 35 e 1326
d) 44 e 1870

Resposta:
O 1º número primo é par, portanto é 2
O 2º número primo é divisor de 100 e ímpar, portanto é 5
O 3º e o 4º números primos são fatores de 1870, 2.5.11.17 = 1870, logo 11 e 17 são fatores de 1870
(lembrando que o fator é o número inteiro que é multiplicado na multiplicação).
A soma é: 2+5+11+17 = 35
Produto: 2.5.11.17 = 1870
Então a alternativa correta é a A.

EXERCÍCIOS:

2^-1 =

2⁰ = 1

2¹ =

2² = 2.2 =

2³ = 2.2.2 =

-2⁴ = -2.2.2.2 =

(-2)⁴ = (-2) (-2) (-2) (-2) =

(-2)³ = (-2) (-2) (-2) =

10¹ =

10³ =

~~~~~~~~

PATROCÍNIO
Consultoria Acadêmica

CURIOSIDADES NUMÉRICAS

12345679 x  9  = 111111111

12345679 x 18 = 222222222

12345679 x 27 = 333333333

12345679 x 36 = 444444444

12345679 x 45 = 555555555

12345679 x 54 = 666666666

12345679 x 63 = 777777777

12345679 x 72 = 888888888

12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7        = 88

9 x 98 + 6       = 888

9 x 987 + 5      = 8888

9 x 9876 + 4     = 88888

9 x 98765 + 3    = 888888

9 x 987654 + 2   = 8888888

9 x 9876543 + 1  = 88888888

9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2          = 11

9 x 12 + 3         = 111

9 x 123 + 4        = 1111

9 x 1234 + 5       = 11111

9 x 12345 + 6      = 111111

9 x 123456 + 7     = 1111111

9 x 1234567 + 8    = 11111111

9 x 12345678 + 9   = 111111111

9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11               =        121

111 x 111             =       12321

1111 x 1111           =      1234321

11111 x 11111         =     123454321

111111 x 111111       =    12345654321

1111111 x 1111111     =   1234567654321

11111111 x 11111111   =  123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9        x 7        =        63

99       x 77       =       7623

999      x 777      =      776223

9999     x 7777     =     77762223

99999    x 77777    =    7777622223

999999   x 777777   =   777776222223

9999999  x 7777777  =  77777762222223

99999999 x 77777777 = 7777777622222223

1            x 7 + 3 = 10

14           x 7 + 2 = 100

142          x 7 + 6 = 1000

1428         x 7 + 4 = 10000

14285        x 7 + 5 = 100000

142857       x 7 + 1 = 1000000

1428571      x 7 + 3 = 10000000

14285714     x 7 + 2 = 100000000

142857142    x 7 + 6 = 1000000000

1428571428   x 7 + 4 = 10000000000

14285714285  x 7 + 5 = 100000000000

142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

9      x 9      =      81

99     x 99     =     9801

999    x 999    =    998001

9999   x 9999   =   99980001

99999  x 99999  =  9999800001

999999 x 999999 = 999998000001

12 x 12 =   144,  21 x 21 =   441

13 x 13 =   169,  31 x 31 =   961

102x102 = 10404,  201x201 = 40401

103x103 = 10609,  301x301 = 90601

112x112 = 12544,  211x211 = 44521

122x122 = 14884,  221x221 = 48841

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1

CONCEITO

Conjunto vazio { } ou Ø: um conjunto que não possui elementos.

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer, pertencem a um outro conjunto B, pode-se dizer, então, que A é um subconjunto de B.

Observações:

- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio;

 - O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto.

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B todos os elementos pertencentes a A ou B.

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja:

AxB = {(x,y) / x Є A ou y Є B}

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

0, 1, 2, 3, 4, 5...

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Qualquer número que possa ser expresso pela equação a/b desde que seja b ≠ 0: 2/3, 1/5, 5/2 ...

Observação: Existem frações que não possuem representação decimal exata, por exemplo:

5/9 = 0,555...

1/3 = 0,333...

5/3 = 0,833...

Os numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, são chamados de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Em uma dízima periódica, o período é o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente.

DÍZIMAS PERIÓDICAS - CLASSIFICAÇÃO

As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas, por exemplo:

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES o período apresenta-se logo após a vírgula:

5/9 = 0,555... (período: 5)

7/3 = 2,333... (período: 3)

4/33 = 0,1212... (período: 12)

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS, existe uma paste não periódica entre o período e a vírgula:

1/45 = 0,0222... (Período: 2) Parte não periódica: 0

1.039/900 = 1,15444... (Período: 4) Parte não periódica: 15

61/495 = 0,1232323... (Período: 23) Parte não periódica: 1

Observação: a parte não periódica de uma dízima é o termo situado entre vírgulas e o período, excluímos, portanto, da parte não periódica do inteir.

GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

A fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinar a geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem o período como numerador, e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período, por exemplo:

0,777... = 7/9

0,2323... = 23/99

Dízima composta

A geratriz da dízima composta é uma fração da forma n/d, onde:

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, e

d são tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

0,1252525... = 125-1/990 = 124/990

0,047777... = 047-04/900 = 43/900

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS: V2, V5, π

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z)  e  b = Im(z)

 EXERCÍCIOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO

Questão 1: Considere a seguinte seqüência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa seqüência é:

a) 36,

b) 40,

c) 42,

d) 44,

e) 48.

Resolução: Verifique os intervalos entre os números dados fornecidos.
Dados os números:

3          12        27        __        75            108,      obtemos os seguintes

     9          15        __           __      33                  intervalos. Observamos que

     3x3       3x5       3x7         3x9          3x11    

Logo:                     21           27

Então: 21+27 = 48. A alternativa correta é a E.

Os exercícios de raciocínio lógico mais comuns são os de proposição: se Maria não vier, eu saio cedo; a contrapositiva: se eu não sair cedo é porque Maria não veio. 

Considere a seguinte proposição:

Questão 2: Se você simplifica o exercício, você acha a resposta. A negação desta proposição é:

a) Você simplifica o exercício e não acha a resposta;
b) Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta;
c) Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta;
d) Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta.

Resolução: A negação de uma proposição do tipo "A ENTÃO B" é uma proposição do tipo "A E NÃO B". na questão proposta, a proposição A é "se você simplifica o exercício" enquanto que a proposição B é "você acha a resposta". a negação, sendo do tipo "A E NÃO B" só pode mesmo ser "você simplifica o exercício e não acha a resposta". A alternariva correta é a A.

Questão 3: Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:

a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70

Resolução 1: Questão interessante que cobra do aluno o uso da porcentagem. Vamos arrumar as nformações:
A clínica tem cães e gatos.
1) Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos.
2) Dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães.
3) De todos os animais 20% agem como gatos.
4) De todos os animais 80% agem como cães.
5) No total são 10 gatos
Vamos arrumar a situação:
Tem-se 10 gatos hospedados, 90% deles agem como gatos (90% . 10 = 9 gatos) e 10%
deles agem como cães (10% . 10 = 1)
Tem-se C cães hospedados, 90% deles agem como cães (90% . C = 0,9C cães) e 10% deles agem como gatos (10% . C = 0,1C )
Mas de todos os animais 20% agem como gatos, ou seja, 20% T (total de animais) agem omo gatos.
Vamos igualar todos os que agem como gatos:
20% T = 9 + 0,1C (equação I)
Mas de todos os animais 80% agem como cães, ou seja, 80% T (total de animais) agem omo cães.
Vamos igualar todos os que agem como cães:
80% T = 1 + 0,9C (equação II)
Agora tem-se um sistema de equações, com duas equações e duas incógnitas
20% T = 9 + 0,1C (equação I)
80% T = 1 + 0,9C (equação II)
Multiplicando a equação I por (-4) e somando à equação II tem-se:
-80% . T = -36 - 0,4C
80% T = 1 + 0,9C
logo
0 = -35 + 0,5C
0,5 C = 35
C = 70 (o número de cães hospedados nessa estranha clínica é setenta).

A alternariva correta é a E.

Resolução 2 (por eliminação):

Total de Gato = G
Total de Cachorro = C
G + C = T

Se:

a) G = 10
b) C = x

c) Agem como gato:
90% de 10 = 9 gatos
10% de C = x

d) X + 9 = 20% de T

e) C = 50 ou 10 ou 20 ou 40 ou 70

Então, por eliminação:

1ª Hipótese (C = 50)
Se C = 50
10% = 5 cães
5 cães + 9 gatos = 14 animais que agem como gato, neste caso T seria = 50 cães + 10 gatos = 60, mas 14 não é 20% de 60.
Logo o valor de C não é 50, ou seja, a alternativa A está descartada

As hipóteses 2ª, 3ª e 4ª estão igualmente descartadas, pois são valores menores do que 50 (2ª 10 é 20% de 50; 3ª 11 é 20% de 55; 4ª 13 é 20% de 65)

Então vamos direto para a última hipótese:
Se C = 70
10% = 7 cães
7 + 9 = 16
T = 70 cães + 10 gatos = 80

16 é 20% de T
Logo a alternativa E está correta.

~~~~~~~~

Patrocínio