NÚMEROS PRIMOS  (MATEMATICA) escrito em sábado 25 agosto 2007 23:17

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encontre o número primo não marcado no quadro acima!
números primos

 

PITÁGORAS E LIBERTAÇÃO DA ALMA

 

Na Grécia, em meados do século VI a.C., para garantir sua liderança perante o povo e enfraquecer a antiga aristocracia, políticos tiranos incentivaram a expansão de cultos religiosos populares ou estrangeiros.

Como resultado disso, destacando-se entre outras seitas, o orfismo, de Orfeu com características essencialmente esotéricas, pregando a necessidade do retorno à origem, ou seja, às estrelas, por meio de um processo de purificação que ocorria com a transmigração da alma através de vários corpos.

Para livrar-se do ciclo de reencarnações, era necessário que o homem obedecesse ao deus libertador, Dionísio, com algumas regras práticas, tais como a abstinência de certos alimentos.

Foi assim que Pitágoras de Samos transformou a Matemática em uma “via de salvação”, no lugar de Dionísio, convertendo o processo de libertação da alma em um esforço intelectual, isto é, em um empenho puramente humano.

Isso foi muito bom porque Pitágoras e seus seguidores, os pitagóricos, nos deixaram muitos conceitos como os dos números pares e ímpares, números figurados, números primos , a relação entre os catetos, a hipotenusa de um triangulo retângulo e outros.

Hoje é muito conhecido o Teorema de Pitágoras. A numerologia também é uma herança da doutrina dos pitagóricos.


NÚMEROS FIGURADOS


Por acreditarem que tudo no universo poderia ser explicado por meio dos números, os pitagóricos adotaram representações para os números:

 

                                                                    O

                 O       O   O    O      O          O       O

A FONTE    2           4          O  6   O        O        8        O    Números

                    O     O   O    O      O          O       O        fêmeas

                                                              O                

 

                                                             

                    O           O     O          O O O      O O O

UNIDADE   O   O            O                  O         O O O  Números

                   3           O     O          O O O      O O O  Machos

                                      5                 7              9

 

Estabelecia-se, assim, diferentes níveis da realidade a tábua de opostos fundamentais, tais como:

- unidade e multiplicidade,

- macho e fêmea,

- à esquerda e à direita (relativas ao movimento das "estrelas fixas" e outros.

Por exemplo: o número cinco representava o casamento. Um número primo ímpar que, por a sua formação, representaria a união fecunda.

2 + 3

OOO

O

OOO

casamento

Pitágoras também estudou as propriedades geométricas dos números e descobriu, por exemplo, que dispostos geometricamente, os números ímpares formam sempre o quadrado, enquanto os números pares constituem sempre o retângulo.


O  O   O   O             O  O  O  O

O  O   O   O             O  O  O

O  O   O   O             O  O

O     O   O            O

Números pares      Números ímpares

Haviam também os números triangulares, pentagonais, hexagonais etc.

 

NÚMEROS TRIANGULARES

                                                                                               O

                                                                              O O

                                            O                             O O O 

            O                        O        O                      O O O O          

O     O      O                   O       O       O                     O O O O O

1          3                              6                               15

MÔNADAS

 

Pitágoras entendia que a matéria seria formada por corpúsculos de menor tamanho que qualquer coisa. O intervalo entre esses minúsculos corpos eram denominados MÔNADAS.

Se as mônadas pudessem ser vistas, um segmento de reta seria formado por uma série de unidades justapostas, ou seja, por uma quantidade finita de elementos indivisíveis.

Trata-se de uma hipótese que garantia a possibilidade de comparar as medidas de quaisquer dois segmentos a partir dos números inteiros naturais e suas razões. 

entre duas "mônadas", poderia ser intercalada uma terceira "mônada".

Dessa forma, sempre será possível colocar uma "mônada" entre outras duas, então surge a dúvida: quantas "mônadas" corresponde a um segmento?


 

NÚMEROS PRIMOS

 

Números naturais, segundo características comuns.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...

Seqüência dos números naturais

O O O O O O

Os números podem ser divididos em dois grupos com igual quantidade de objetos. Especificamente, os números pares, ou seja, os números divisíveis por dois, assim:

- os números naturais (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...): são chamados de números pares;

- os demais números naturais (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) são chamados números ímpares. 

Note-se, que um conceito que é pertinente à uma relação entre números pares e números ímpares é o conceito de divisibilidade, isto é, o fato de que a divisão de dois números naturais nem sempre produz um número natural.

Por exemplo, enquanto 15 dividido por 3 é igual a 5 - que é  um número natural - 15 dividido por 2 é igual a 7,5 que, por sua vez, não é um número natural.

Na teoria de números, dizemos que 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. 

Ora, mas como todo número natural é divisível por ele próprio e por 1, isso nos permite estabelecer para os números naturais, dois novos grupos de números distintos:

- o grupo dos números compostos

- o grupo dos números primos.

Em termos aproximados, a diferença entre número composto e número primo é a seguinte: 

 

O O O O O O

6 é um número composto.

O O O O O

5 é um número primo.

 

NÚMERO PRIMO é, então, um número natural maior do que 1 divisível somente por 1 e por si mesmo.

Em ordem crescente, os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Os primeiros números compostos são: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ...

Os números primos são importantes para o teorema fundamental da aritimética, para o qual todo número inteiro natural maior do que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos.

Entre 1 e 100 existem 25 números primos, os quais podem ser encontrados através do crivo de Erastóstenes.

 

CRIVO DE ERATÓSTENES

 

Trata-se do método para a determinação de números primos. 

Determina, por exemplo, os números primos menores que 100, da seguinte forma:

a) o primeiro passo é listar, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 100.

b) em seguida, retiramos todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), os quais não são primos, porque são números pares.

c) os próximos números a serem retirados são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); os quais também não são primos, pois são divisíveis por 3.

d) depois, retira-se os múltiplos de 5 maiores que 5 e

e) finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.

Sobram, então, os números primos menores do que 100 (em vermelho na figura a baixo).

 

1       2       3       4       5       6       7       8       9       10

11     12     13     14     15     16     17     18     19     20

21     22     23     24     25     26     27     28     29     30

31     32     33     34     35     36     37     38     39     40

41     42     43     44     45     46     47     48     49     50

51     52     53     54     55     56     57     58     59     60

61     62     63     64     65     66     67     68     69     70

71     72     73     74     75     76     77     78     79     80

81     82     83     84     85     86     87     88     89     90

91     92     93     94     95     96     97     98     99     100

 

Note que não é necessário retirar os múltiplos de 11, pois o primeiro múltiplo de 11 a ser retirado seria o número 11.11 = 121, que é maior que 100.

Em linhas gerais, quando utilizamos o crivo de Eratóstenes para encontrar todos os números primos menores que um número natural n, retiramos somente os números múltiplos dos primos menores que a raiz quadrada de n.

 

IRREGULARIDADE DOS NÚMEROS PRIMOS

 

Ao considerar o intervalo entre dois números primos consecutivos, observa-se que há irregularidade entre eles.

Para mostrar a razão disso, vamos considerar P como o produto de todos os números naturais de 1 até 100.

Isto significa que todos os 99 número naturais subseqüentes P + 2, P + 3, P + 4, ..., P + 100 são compostos porque são divisíveis por 2, 3, 4 ...., 100.

Portanto, ao considerar o produto de todos os números naturais de 1 até 200, de 1 até 300 e, assim sucessivamente, percebe-se que as seqüências de números compostos consecutivos são arbitrariamente longas e, por conseguinte, arbitrariamente longos os intervalos entre dois números primos sucessivos.

Observa-se, por fim, que apesar de uma tendência para uma redução da quantidade de números primos, quando contados em grandes blocos de números naturais consecutivos, a seqüência de números primos é infinita.

 

EXERCÍCIOS:


1) Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O segundo é um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870.
A soma e o produto desses quatro números primos são, repectivamente:

a) 35 e 1870
b) 43 e 3230
c) 32 e 2145
d) 35 e 1326
d) 44 e 1870

Resposta:
O 1º número primo é par, portanto é 2
O 2º número primo é divisor de 100 e ímpar, portanto é 5
O 3º e o 4º números primos são fatores de 1870, 2.5.11.17 = 1870, logo 11 e 17 são fatores de 1870
(lembrando que o fator é o número inteiro que é multiplicado na multiplicação).
A soma é: 2+5+11+17 = 35
Produto: 2.5.11.17 = 1870
Então a alternativa correta é a A.

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