O RAIO DA TERRA  (GEOMETRIA) escrito em sexta 24 agosto 2007 18:24

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A GEOMETRIA DO SÉC. III a.C.

Fonte: Marina Menna Barreto* 

Os antigos já haviam percebido que:

(i) A sombra da Terra projetada na Lua, durante os eclipses lunares, exibe uma forma arredondada.

(ii) Quando o navio se afasta, primeiro desaparece o seu casco e depois desaparece o seu mastro; quando o navio se aproxima, primeiro aparece o seu mastro e depois aparece o seu casco.

(iii) As mesmas estrelas não são visíveis de todos os locais; as suas respectivas alturas acima do horizonte variam de local para local.

Daí, Erastótenes (276 a.C. - 194 a.C.) , enquanto dirigia a biblioteca do museu de Alexandria, obteve, nos livros, a informação de que, em determinado dia do ano, no solstício de verão no hemisfério norte (SOLSTÍCIO), ao meio-dia, o Sol se refletia nas águas de um poço muito fundo situado na sua cidade natal, Syene, que ficava exatamente no limite da zona tropical e no mesmo meridiano de Alexandria.

Para que a luz do Sol pudesse se refletir nas águas de um poço muito fundo, este deveria estar bem alinhado com o Sol, isto é, o Sol, o poço e o raio da Terra deveriam estar todos sobre uma mesma reta imaginária, ou em outras palavras, o Sol deveria estar no zênite, exatamente sobre a cabeça do observador.

Erastótenes observou que nesse mesmo dia, em Alexandria, a sombra de uma coluna, ao meio-dia, revelava que o Sol distava do zênite 7½º (medida feita com o auxílio do astrolábio).

Sabendo que os raios de luz provindos de grandes distâncias parecem paralelos ou comportam-se como se fossem, Erastótenes concluiu que os raios que ligam as extremidades de um arco de 800 Km ao centro da Terra, formam um ângulo de 7½º (800 Km é a distância entre as duas cidades, que já era conhecida pelos funcionários do museu). Este ângulo equivale a aproximadamente 1/50 do comprimento do meridiano terrestre — que é de 3.600 (2p).

A partir do teorema das retas paralelas (TEOREMA), Erastótenes transpôs o ângulo de 7½º.

A partir daí, fica simples encontrar o raio da Terra: 

Cálculo da Circunferência da Terra:

Por uma regra de três simples, calculamos facilmente o comprimento da circunferência da Terra!

    1/50 x 2p (7 1/20) → 800 Km (distância entre Syene e Alexandria)

    2p (3.600) → X (circunferência da Terra)

    X = 40.000 Km

Cálculo do Raio da Terra

Agora fica fácil calcular o raio da Terra, pois sabemos que o comprimento de uma circunferência é 2πr e já sabemos que o comprimento da circunferência da Terra é de 40.000 Km. Fazemos então:

        C = 2πr

        40.000 = 2πr

        r = 40.000 / 2π

        isolamos π

        r = 40.000 x 7 / 2 x 22

Obs: p já havia sido determinado por Arquimedes como sendo 22/7

        r = 5.400 Km

O resultado da experiência de Erastótenes foi surpreendentemente próximo da medida observada hoje que é:

 r = 6.378,1 Km

* em: <http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab1/erast.htm>

CURIOSIDADE

Eratóstenes nasceu em Cirene (atual Líbano), em 276 a.C. e faleceu em Alexandria em 194 a.C. Como muitos sábios do seu tempo, foi astrônomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta e matemático. Estes conhecimentos levaram-no a ocupar um dos cargos mais importantes na Antiguidade: diretor da maior e mais importante biblioteca da época - a Biblioteca de Alexandria, uma das sete maravilhas do mundo. Apesar de ser um estudioso de nível superior nas áreas em que interveio nunca chegou a atingir o patamar máximo do seu contemporâneo Arquimedes. No entanto, os seus feitos e descobertas, tornaram-no uma das figuras mais importantes da ciência. (http://nautilus.fis.uc.pt/)

 

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